Симметрия

Развитие теории информации последних лет сместило основное внимание исследователей в современном моделировании различных систем на кодовые соотношения элементов системы и связей не только между ними, но и с окружающими объектами1. Следует отметить, что первым, кто осознал, что истинную суть системы составляют не столько абсолютные значения факторов, слагающих систему, сколько соотношения между факторами, был Н. Рашевский2. Основой в быстро расширяющихся исследованиях кодовых отношений элементов биосистем345 явились фундаментальные исследования симметрии как принципа познания закономерностей в природе678. По-видимому, необходимо несколько подробнее остановиться на общих принципах симметрии, используемых в данной работе. Эта необходимость обусловливается тем, что, с научной точки зрения, относительно симметрии существуют, с одной стороны, фундаментальные исследования и соответствующие монографии, с другой, – весьма многочисленные публикации с использованием понятия о «золотом сечении», которое с легкой руки Леонардо да Винчи продолжает восхищать исследователей, однако мешает рациональному подходу к оценке его значимости.

Как говорится, всякую проблему можно рассматривать с трех точек зрения: с моей, с твоей и с точки зрения фактов. Разделяя восхищение Леонардо да Винчи «божественной симметрией» и не затрагивая философское и общенаучное значение симметрии, относительно которого имеется обширная литература, постараемся придерживаться только фактов, касающихся использования основных принципов симметрии.

История понятия симметрии

Понятие симметрии в тесном переплетении с понятиями красоты и гармонии дано было великими греческими ваятелями. Видоизменяясь, эти понятия проходят через всю историю человечества, и их развитие связано с такими именами, как Пифагор, Леонардо да Винчи, Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В России – с именами Е. С. Федорова, А. В. Шубникова, В. И. Вернадского, Н. Ф. Овчинникова и многими другими. Понятие симметрии в науке XX столетия – один из важнейших методологических принципов научной теории. Этот принцип, по выражению. В.И. Вернадского, охватил и охватывает все новые области науки.

«Симметрия является фундаментальной закономерностью природы и в то же время принципом познания свойств и законов окружающего нас мира живой и неживой природы» [Н. Ф. Овчинников, 1985]. «Представления о симметрии и асимметрии лежат в основе естественнонаучной картины мира»9. Структурная симметрия – чрезвычайно распространенное свойство биологических систем. Она может проявляться и на функциональном уровне10. Современное понимание принципа симметрии обусловлено идеями сохранения, инвариантности, теоретико-групповыми методами. Ключевым в понимании симметрии является представление о сохранности объекта – объект тем устойчивее, и следовательно, тем успешнее сохраняет свое существование во времени, чем более уравновешены и согласованы составные части или элементы.

Путь исследований биологической симметрии как важного научного направления, опирающегося прежде всего на аппарат математической теории групп и ряд кристаллографических методов, был открыт основополагающими работами В. И. Вернадского, Н. Ф. Овчинникова, Ю. А. Урманцева и др. «Обнаружение симметрии вещей и явлений – это путь к познанию законов их существования», писал Н. Ф. Овчинников (1966). В настоящее время концепция симметрии является фундаментальной концепцией всех разделов физики и формализована в математике в теории групп. Группа динамической симметрии определяется как конформная группа. Чем же привлекателен современный рациональный подход к симметрии?

Прежде всего, тем, что симметрия позволяет выявлять свойства сохранности и системной организации объекта111213. Мы вправе ограничиться ссылками на указанные исследования, извлекая из них вывод: симметрия определяет диапазон сохранности системы и тем самым предстает системоорганизующим фактором. Это представление близко к определению порядка в физико-химической системе, данное Ф. Карэри (1985).

Симметрийный подход

Несмотря на когнитивную многозначность понятия системной организации есть основания полагать, что общим признаком для любого вида системной организации является то, что она не может существовать без симметрии. По сути, адекватное описание систем управления, включая интеллектуальные системы, и принятие решений без симметрийного подхода невозможно [В. В. Смолянинов, Т. А. Ракчеева, 2000].

Для определения сохранности и возможного для системы движения существуют различные подходы. В начале прошлого века Эмма Неттер доказала теорему [Р. А. Аронов, В. А. Угаров, 1978] о свойствах симметрии физических систем, которые позволяют судить об особенностях их движения и их взаимодействии, и предложила способ определения этих свойств. Суть способа в определении «функционала действия» системы, представляющего «такую комбинацию величин элементов системы, которые не меняются со временем». Инвариантность функционала действия Э. Неттер определила как энергия-время. Несмотря на привлекательность сформулированной характеристики «функционала действия», данная работа не получила широкого признания среди профессионалов, и использование ее в физиологии представляет серьезные трудности.

Другой подход был сформулирован В. В. Смоляниновым14 и обозначен им как либернетический. Это взгляд на системную организацию с точки зрения свободы возможных преобразований элементов и межэлементных связей. Главными понятиями являются понятие о степени свободы пространственного движения системы и понятие инварианта. Однако алгебраическая трактовка симметрий, естественным воплощением которой является теория групп, основанная на абстрактной концепции «самосовмещения» некоторого множества объектов, также представляет трудность для использования данного подхода при анализе сложных биологических систем.

Понятие инварианта

Понятие инварианта [Ф. Клайн, 1987] связано с геометрией и представляет связь элементов системы. Чтобы выявить эту глубинную симметрию, необходим анализ движения элементов геометрической фигуры в целом или отдельных частей ее относительно других фиксированных неподвижных элементов. Каковы эти элементы? Это средства геометрии: точки, линии, плоскости в структурных и (или) функциональных моделях. Одно из главных качеств симметрии – ее повторяемость. Определенный тип симметрии либо существует, либо не существует, а размеры образа, например, по осям, не меняют тип симметрии, являющийся инвариантом. Это означает, «параметрами» системы являются не абсолютные или относительные величины, а характер взаимосвязи между ними. И успехи в познании закономерностей природных явлений определяются возможностью обнаружить или теоретически сконструировать инварианты движения. Значение инварианта, как это будет показано ниже, трудно переоценить при анализе осцилляторных процессов.

Третий подход к определению сохранности объекта и других свойств симметрии значительно проще. Многие авторы используют известные симметрии левого и правого, симметрии отношения среднего и крайнего («золотое сечение»), симметрии пятигранника («золотой вурф») и многие другие15. Работами последних лет показано, что именно в симметрии находит свое выражение единства сохранения и изменения объекта16. Симметрия тесно связано с понятием гармонии, т. е. гармонически пропорциональным отношением частей в системе17. Численная характеристика системы на основе симметрийного подхода определяется как степень совершенства ее, т. е. соответствие «совершенным пропорциям». Разработаны методологические приемы количественного описания соотношения элементов системы, и на этой основе – методы построения идеальной системы и определения степени отклонения конкретного объекта от нее. Это соответствие можно оценить средним процентом отклонений попарных отношений элементов и подсистем от «стопроцентной системы» [Система. Гармония. Симметрия, 1988]. Такой методологический инструментарий позволил выявить инвариантные коэффициенты в анатомии человека1819, биоэлектрической активности головного мозга20, физиологии сердечно-сосудистой системы21222324. Предложено определение гармоничности функционирования биосистем с помощью параметров «золотого сечения» [В. Д. Цветков, 1984; Маклаков, 1998]. При этом утверждается, что «относительная энтропия системы и относительная организация системы должны соотноситься между собой через инварианты золотого сечения». Это означает, что в гармонично функционирующей системе в простейшем случае доля хаоса (беспорядка) должна составлять 0,382 от максимального значения энтропии, а упорядоченности – 0,618. Степень отклонения реально функционирующей биосистемы от своего гармоничного состояния предлагается оценивать с помощью показателя информационной сбалансированности [Г. Ю. Маклаков, 1998].

«Золотой вурф»

Особый интерес представляет пропорциональность (17=1,309), называемая «золотым вурфом», которая является инвариантом конформной геометрии25. Этот инвариант может быть определен по геометрии правильного пятиугольника путем деления каждой стороны пентаграммы точками пересечения с четырьмя другими сторонами26. Количественной мерой нарушенной симметрии в этом случае может быть степень отклонения от идеальной звездчатой формы, образуемой диагоналями правильного пятиугольника, как эталона сравнения. Известно, что для установления проективной эквивалентности двух пятиугольников достаточно сравнить два пентавурфа обеих фигур. Если величины соответствующих пентавурфов совпадают, то это говорит о проективной эквивалентности данных пятиугольников [С. В. Петухов, 1988]. Показано значение этой пропорции для морфологии человека27. Установлена математическая зависимость, связывающая длительность фаз кардиоцикла с классическим рядом Фибоначчи, и выявлена золотая пропорция в соотношении пульсового, минимального и максимального давления в аорте [В. Д. Цветков, 1984].

Здесь симметрия фигурирует не только как наглядный зрительный образ и качественная характеристика целостности и устойчивости объекта, но и как количественная мера этой устойчивости. При этом нельзя не напомнить выражение Янга28 «…кажется, природа использует простейшие математические возможности законов симметрии». Визуальное восприятие симметрии – это активный процесс. Воспринимаемый предмет в его пространственной форме схватывается целостным образом как единая структура. Специфика абстрактнотеоретического уровня в познании состоит в расчленении, анализе целостного образа той пространственной формы предмета, которая непосредственно схватывается на наглядно-созерцательном уровне». Синтез изображений в виде образов, обладая наглядностью, дает возможность воспринимать комплекс взаимосвязанных свойств в объекте, но не показывает при этом его количественных мер. Степень изменений, как правило, определяется по балльной шкале с использованием цвета.

Оценка степени правильности

Свойства симметрии не только являются условием системной организации, но также предполагают ее правильную оценку. Оценка степени правильности по числу симметрий показана на примере простых геометрических объектов — чем большим числом симметрий обладает объект, тем более правильным он является. [В. В. Смолянинов, Т. А. Ракчеева, 2000]. При этом авторы отмечают, что простые системы имеют некий «предел правильности». По-видимому, существует такой предел и для сложных систем. В работе В. Д. Цветкова (1997) показана оптимальность структурно-функциональной организации системы кровообращения млекопитающих на основе «золотых» соотношений функциональных показателей. Автор полагает, что инвариант «золотых отношений» является «базой отсчета нормы, относительно которой можно произвести анализ изменений параметров сердца здоровых людей и животных при изменении того или иного параметра среды обитания» [В. Д. Цветков, 1997].

Однако, учитывая эвристическое правило «конечная система называется правильной, если она обладает максимальным числом симметрий», [В. В. Смолянинов, Т. А. Ракчеева, 2000], суждение о правильности структурной организации системы вряд ли можно проводить только на основании симметрии одного инварианта «золотого сечения». При этом вопрос о необходимом и достаточном числе симметрий для суждения о правильности системной организации объекта остается открытым. Очевидно, только при решении этого вопроса переход к языку инвариантов дает огромные преимущества в оценке правильности объекта.

Таким образом, исследования последних лет показали, что для изучения функциональных состояний живого организма необходима комбинация принципов системного, информационного и симметрийного подходов. Обобщение системного и симметрийного подходов дает определение гармонии объекта. [Система. Гармония. Симметрия, 1988]. Дополнение информационного подхода дает возможность определить указанную выше совокупность как принцип сложной гармонии – гармонии функциональной организации в целостной системе живого организма29.

Читайте также

Footnotes

  1. Юзвишин И. И. Информациология. – М.: Радио и связь, 1996.
  2. Rashevsky, N., Mathematical aspects of some cardiovascular phenomena // Foundations of mathematical biology. – N. Y.-London: Acad.Press, 1973, pp. 97-142.
  3. Бочков В. Г. Принцип оптимальности как основа исследования живых систем и некоторые вопросы их математического описания. Особенности современного научного познания. – Свердловск: УНЦ АНСССР, 1974, с. 161-178.
  4. Цветков В. Д. Ряды Фибоначчи и оптимальная организация сердечной деятельности млекопитающих: Препринт. – Пущино: Научный центр биологических исследований АН СССР, 1984.
  5. Петухов С. В. Высшие симметрии, преобразования и инварианты в биологических объектах // Система. Симметрия. Гармония. – М.: Мысль, 1988, с. 260.
  6. Вернадский В. И. Размышления натуралиста. Пространство и время в неживой и живой природе. — М.: Наука, 1976.
  7. Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве.-М.: Наука, 1972.
  8. Овчинников Н. Ф. Принципы сохранения. – М.: Наука, 1966.
  9. Тарасов Л. В. Мир, построенный на вероятности. – М.: Просвещение, 1983.
  10. Дубров А. П. Симметрия биоритмов и реактивности. – М.: Медицина, 1987.
  11. Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве.-М.: Наука, 1972.
  12. Аронов Р. А. Угаров В. А. Пространство, время и законы сохранения. – Природа, 1978, № 10, с. 99.
  13. Смолянинов В. В., Ракчеева Т. А. Инварианты симметрий: от свобод преобразований фигур к свободам их самосовмещений. // Интеллектуальные системы: Сборник МГУ. – М., 2000, т. 5., вып. 1-4, с. 127-186; вып. 6, с. 878-888.
  14. Смолянинов В. В. Структура, функция, управление – системно-конструктивный подход. -Биологические мембраны, 1997, т. 14, № 6, с. 574—583.
  15. Система. Гармония. Симметрия / Под ред. В. С. Тюхтина и Ю. А. Урманцева. – М.: Мысль, 1988.
  16. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. – М., 1974.
  17. УрманцевЮ. А. Симметрия. Пространство, время, движение.-М.: Мысль, 1971.
  18. Петухов С. В. Высшие симметрии, преобразования и инварианты в биологических объектах // Система. Симметрия. Гармония. – М.: Мысль, 1988, с. 260.
  19. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
  20. Соколов Е. И., Подачин В. П., Белова Е. В. Эмоциональное напряжение и реакции сердечно-сосудистой системы. – М.: Наука, 1980.
  21. Цветков В. Д. Ряды Фибоначчи и оптимальная организация сердечной деятельности млекопитающих: Препринт. – Пущино: Научный центр биологических исследований АН СССР, 1984.
  22. Дмитриева Н. В. Симметрийный подход к анализу электрокардиограммы // Известия АН СССР. Серия Биология, 1989, № 3, с. 450-456.
  23. Дмитриева Н. В. Симметрийный подход к оценке функционального состояния организма человека // Изв. АН СССР. Серия Биология, 1990, № 1, с. 52-66.
  24. Дмитриева Н. В. Симметрийный подход к анализу реовазограммы. – Физиология человека, 1993, № 12, с. 53-64.
  25. Визгин В. П. Из истории конформной симметрии в физике. Историко-математические исследования. -М.: Наука, 1974, вып. 19, с. 188.
  26. Петухов С. В. Высшие симметрии, преобразования и инварианты в биологических объектах // Система. Симметрия. Гармония. – М.: Мысль, 1988, с. 260.
  27. Петухов С. В. Биомеханика, бионика и симметрия. – М.: Наука, 1981.
  28. Дрёмин И. М. Введение в понятие о симметриях. Новое в жизни, науке, технике. Сер. физика. -М.: Знание, 1982, с. 3.
  29. Dmitrieva, N. V. Electrophysiological conception of stress development Abstracts International Congress. Stress and Adaptation from molecules to Man. – Budapest, 1997, 1-5 July, p. 130.