Частотные характеристики

Частотные характеристики могут относиться к одному сигналу (автоспектры) или же отражать взаимодействие двух сигналов (кросс-спектры).

Амплитудно-частотная характеристика

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) или амплитудный спектр A(i)=f(f_i) представляет собой зависимость амплитуд спектральных гармоник (по оси Y) от частоты (по оси X). АЧХ является наиболее информативной и наиболее используемой в биологических и медицинских исследованиях спектральной характеристикой.

Рис. 1. Спектры ЭЭГ
с доминированием альфа-ритма на частоте 8 Гц: а — АЧХ на эпохе 8 с; б — АЧХ на эпохе 2 с; в — АЧХ на эпохе 8 с с тремя сглаживаниями; г — спектр мощности на эпохе 2 с

На рис. 1 приведены примеры спектров ЭЭГ. Как видно из сравнения рис. 1а и б, уменьшение эпохи анализа ведет к значительному снижению детализированности спектра (разрешения по частоте). С другой стороны, большое разрешение ведет к появлению различных случайных флюктуаций (вследствие влияния вытекания мощности, модуляции и др.), для нивелирования которых может оказаться полезным сглаживание спектра (рис. 1в).

Частотные характеристики ЭЭГ — Рис. 2. Частотные характеристики
а — амплитудная; б — фазовая

Фазо-частотная характеристика

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) или фазовый спектр φ(i)=f(f_i) представляет зависимость фаз спектральных гармоник (по оси Y) от частоты (по оси Х). Следует учитывать, что график ФЧХ (см. рис. 2б) строится в области значений Y от 180° до -180°, поэтому при непрерывном изменении фазы с выходом за эти границы он продолжается с другой стороны графика, что создает иллюзию появления ложных пиков. В исследованиях ЭЭГ ФЧХ практически не используется, поскольку ранние исследования не выявили ее значимых корреляций с физиологическими процессами.

Спектр мощности

Спектр мощности P(i)=f(f_i) представляет собой амплитудный спектр, возведенный в квадрат Р(f)=A(f)².

Рис. 3. Эффект утечки
а — четыре моногармонических сигнала с разным числом периодов на эпохе анализа; б — спектральные пики; в — спектры с коррекцией окном Ханна

Однако у спектра мощности по сравнению с АЧХ есть три принципиальных недостатка: 1) интуитивно понятно, что амплитуда спектральных гармоник измеряется в милливольтах регистрируемого на скальпе напряжения, но далеко не просто понять, что означают измерения, выполненные в милливольтах в квадрате; 2) человеческий ум легко ориентируется в линейных соотношениях между несколькими переменными или измерениями, однако ему намного труднее воспринимать нелинейные соотношения (в данном случае квадратичные); 3) если сравнить графики АЧХ и спектра мощности (см. рис. 3, б и г), то на последнем будут доминировать лишь отдельные пики (чаще всего — один главный пик), остальные же будут иметь пренебрежительно малую величину, тем самым соотношения взаимной значимости различных спектральных составляющих будут визуально и численно резко искажены.

Поэтому спектр мощности следует признать неадекватной человеческому восприятию характеристикой. Однако, как показывает несложное статистическое моделирование методом Монте-Карло эти два показателя эквивалентны в плане выявления достоверно значимых межгрупповых различий (Для этого достаточно сгенерировать m выборок с n измерениями по любому закону распределения. Затем выполнить все (m²-m)/2 попарных сравнений средних выборочных значений по любому статистическому критерию с вычислением уровней значимости нулевых гипотез. Далее следует возвести все выборочные значения в квадрат, повторить эту процедуру и сопоставить полученные уровни значимости).

Вычисление мощности ЭЭГ получило распространение в докомпьютерную эпоху в связи с использованием анализаторов на аналоговых фильтрах, на выходе которых измерялась электрическая мощность. Поэтому спектральную оценку мощности стали использовать в целях сравнимости с ранее полученными результатами. Однако спектр мощности следует признать архаичной и неадекватной человеческому восприятию характеристикой.

Вместе с тем, несложное статистическое моделирование показывает, что при использовании амплитудных и мощностных спектральных оценок для выявления достоверных выборочных различий уровни значимости нулевых гипотез практически не различаются.

Малая чувствительность к точности исходных данных

Результаты спектрального анализа поразительно устойчивы к изменению точности представления исходных данных. Дело в том, что при вычислении любой спектральной гармоники производится n усреднений амплитуды сигнала, где n — число отсчетов на эпохе анализа. А в ходе усреднения устойчивость результата к точности представления исходных данных многократно возрастает (пропорционально корню из n, где n — число усреднений).

Рис. 4. Четыре спектра на эпохе 1024 при различной точности исходных данных
Три спектра при динамическом диапазоне ЭЭГ в 12, 9, 5 и 2 двоичных разрядов (изображены линиями) зрительно неразличимы. Спектр при динамическом диапазоне ЭЭГ в два двоичных разряда для визуального отличия представлен ромбиками

В этом легко убедиться, выполнив простой эксперимент. Возьмем типичную ЭЭГ-запись с несколькими выраженными пиками в низкочастотных диапазонах, полностью использующую весь динамический диапазон 12-разрядного АЦП (диапазон ±2048 в десятичном исчислении). Возьмем среднюю эпоху анализа в 1024 отсчета (при частоте дискретизации 128 Гц это будет соответствовать 8 с). Далее выполним спектральный анализ для исходной записи (а) и трех ее модификаций (b, c, d), в которых последовательно обнулим три, семь и десять младших двоичных разрядов. Далее вычислим четыре спектра. Уже простое визуальное сравнение этих спектров дает представление о малости различий между ними (рис. 4).

Но пойдем далее и дадим количественную оценку различиям. Для этого вычислим разности спектров b-а, c-а, d-а, нормируем их на максимальную амплитуду спектра а, после чего выразим результат в процентах и вычислим среднее значение, стандартное отклонение и максимальное отклонение. Вот что мы получим: b) 0,035±0,026%, max=0,12%; c) 0,34±0,24%, max=1,4%; d) 3,5±2,4%, max=11%. Особенно поразителен последний результат d, поскольку в исходных данных мы оставили всего лишь два значащих двоичных разряда. И, несмотря на это, мы получили в среднем всего лишь 3,5% различия амплитуд этого спектра от точных значений. На выделение доминирующих гармоник и сопоставление различных спектров такая погрешность принципиально не скажется. Отсюда следует вывод: для задач спектрального анализа в трех низкочастотных диапазонах вполне приемлемой будет регистрации ЭЭГ с использованием 3—4-разрядного АЦП.

Кросс-спектральные характеристики

Кросс-спектральные характеристики предназначены для оценки различных аспектов связи двух сигналов ЭЭГ, регистрируемых с двух отведений: x(t) и y(t).

Кросс-спектр

Кросс-спектр двух процессов : x(t) и y(t) вычисляется как произведение спектра X(f) на спектр Y(f) в его комплексно сопряженной форме Y*(f):

$X Y(f)=X(f) \times Y^{*}(f)=e_{0}+\sum_{f=1 / T}^{F T / 2}\left(e_{f}+i g_{f}\right)$

Имея $X(f)=a_{0}+\sum_{f=1 / T}^{F T / 2}\left(a_{f}+i b_{f}\right), Y^{*}(f)=c_{0}+\sum_{f=1 / T}^{F T / 2}\left(c_{f}-i d_{f}\right)$ , и выполняя их почленное умножение компонент X(f), Y*(f) с выделением действительных и мнимых составляющих результата получаем выражения для составляющих кросс-спектра: e_f = a_fc_f+b_fd_f; g_f = a_fd_f–b_fc_f.

Отсюда мощность кросс–спектра равна:

$P_{s y}(f)=\sqrt{e_{f}^{2}+g_{f}^{2}}=\sqrt{\left(a_{f}^{2}+b_{f}^{2}\right)\left(c_{f}^{2}+d_{f}^{2}\right)}=A_{x}(f) A_{y}(f)$

то есть равна произведению амплитуд спектров двух процессов, является квадратичной оценкой, измеряемой в мкВ². Линейная оценка амплитуды кросс-спектра или кросс-АЧХ, соответственно, равна $sqrt{A_{x y}(f)$ .

Рис. 5. Кросс-спектры ЭЭГ
а — амплитудный; б — фазовый

График кросс-АЧХ

График кросс-АЧХ (рис. 5а) наглядно показывает, на каких частотах в обоих процессах присутствуют высокоамплитудные и сравнимые по величине гармоники. Как видно из рис. 5а, основные амплитуды кросс–спектра сосредоточены в районе 8 Гц альфа–диапазона, что типично для затылочных отведений ЭЭГ в состоянии релаксации. Кроме того, пики взаимной активности меньшей амплитуды наблюдаются в диапазонах дельта и тета. Из–за высокого разрешения по частоте график содержит много случайных флюктуаций, поэтому может оказаться полезным его сглаживание. В исследованиях ЭЭГ кросс-АЧХ как оценочный показатель самостоятельного применения не получил.

Преимуществом кросс-АЧХ (перед рассмотренной ниже когерентностью) является то, что ее смысл интуитивно понятен и она вычисляется на одной эпохе анализа, то есть применима для анализа кратковременных процессов.

Кросс-фазовый спектр

Кросс-фазовый спектр φ_xy(f)=arctg(g_f/e_f) после подстановки выражений (4.6) для g_f и e_f и несложных тригонометрических преобразований представим в виде φ_xy(f)=φ_x(f)-φ_y(f), то есть является разностью фаз двух спектров.

Как видно из рис. 5б, изменение кросс–фазы носит достаточно случайный характер в связи с влиянием эффектов вытекания мощности, амплитудной модуляции и переходов фазы через границы -180° +180°, что затрудняет ее использование и интерпретацию.

На начальном этапе исследований кросс-фазу как разность фаз двух процессов пытались интерпретировать как индикатор временной задержки в передаче взаимодействия от одного процесса к другому. Однако значимых результатов в этом направлении получено не было, и кросс-фаза в современных исследованиях практически не используется.

Когерентность

Основная статья: Когерентность

Еще одной кросс-спектральной характеристикой является функция когерентности, и именно она практически используется для оценки степени взаимосвязи двух процессов.

Неоднозначность интерпретации

В отношении всех кросс–спектральных характеристик следует особо подчеркнуть, что наличие связи двух процессов могут доказать не результаты проведенного анализа, а только физиологические и анатомические основания. Результаты же анализа могут лишь указать на целесообразность поиска таких оснований.

Пусть мы регистрируем ЭЭГ в двух отведениях А и В (рис. 6) и в результате кросс–спектрального анализа обнаруживаем большую аутентичность этих процессов. Однако реально между этими отведениями может не существовать никакой причинной связи, а аутентичность их определена влиянием источника С в другой области головного мозга, анатомически связанного с обоими отведениями А и В.

Обобщенные спектральные показатели

Как было отмечено выше, амплитудный спектр является основной используемой в исследованиях ЭЭГ частотной характеристикой. Однако вследствие погрешностей ДПФ амплитуды отдельных гармоник подвержены влиянию случайных факторов как в отношении их последовательного распределения по частотам, так и на последовательных эпохах анализа (рис. 7).

Тем самым эти амплитуды не могут использоваться в качестве оценочных показателей. Более того, поскольку ЭЭГ не является суммой гармонических колебаний, а нейронные структуры не являются гармоническими осцилляторами, то амплитуды отдельных гармоник лишены физиологического смысла. Поэтому, по крайней мере, в отношении статистической устойчивости более предпочтительно использование усредненных амплитудных и частотных оценок.

На основе любой спектральной характеристики могут быть вычислены обобщенные спектральные показатели для всех интересующих исследователя частотных диапазонов. В качестве таких показателей в ЭЭГ-анализаторах обычно фигурируют следующие (рис. 8):

Аmax — максимальная амплитуда спектра в частотном диапазоне;
Fmax — частота максимальной по амплитуде гармоники;
Аср — средняя амплитуда спектра в частотном диапазоне;
Fcp — средневзвешенная частота, соответствует центру тяжести фигуры, ограниченной кривой спектра в диапазоне, вычисляется по формуле: $F_{c p}=F_{1}+\left(F_{1}-F_{m}\right) \frac{1}{m A_{\mathrm{cp}}} \sum_{i=1}^{m} A_{i}^{2} i$

где m — число гармоник в частотном диапазоне; F₁, F_m — частотные границы диапазона; А_i — амплитуда i-й гармоники;

В исследовательской практике из этих показателей наиболее употребительным является А_ср.

Недостатки. Следует отметить, что рассмотренным показателям, как и исходным ненатуральным амплитудным и частотным оценкам ЭЭГ, свойственен ряд погрешностей и случайных флюктуаций, присущих самим частотным характеристикам (см. выше). Поэтому предпочтительнее использовать натуральные оценки периодометрического анализа или огибающей ЭЭГ.

Анализ по эпохам и усреднение спектров

Для исследования временной эволюции спектральных показателей продолжительную ЭЭГ-запись разбивают на последовательные эпохи более короткого размера, на каждой из которых выполняется частотный анализ. Часто для получения более гладких зависимостей от времени эпохи выбирают с определенным взаимным перекрытием (до 50%). Для наглядного визуального представления эволюции избранного показателя обычно используют форму столбиковых диаграмм по эпохам (горизонтальная ось времени) с построением серии диаграмм в порядке отведений. Другим способом представления результатов является серийное топографическое картирование по эпохам или в режиме динамической мультипликации.

Для выявления наиболее стабильных спектральных составляющих на длительных временных интервалах вычисляют усредненные по эпохам частотные характеристики (усреднение производится для каждой спектральной гармоники отдельно).