Показатели Ляпунова

Биомедицинские сигналы (такие как ЭЭГ)  имеют сложную структуру и, по сути, являются хаотическими сигналами. По определению хаоса данному D. Gulick¹ хаос существует тогда, когда либо имеется существенная зависимость от начальных условий, либо функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической.

Идея показателей Ляпунова состоит в том, чтобы определять такие характерные числа для динамической системы, которые позволяют классифицировать ее поведение как устойчивое либо хаотическое. Значения показателей Ляпунова учитывают сходимость или расхождение ближайших траекторий фазового пространства системы.

Спектр Ляпунова может быть использован для оценки скорости нарастания энтропии и фрактальной размерности рассматриваемой динамической системы.

Применение для ЭЭГ анализа

В исследовании Goshvarpour, 2013 описана процедура анализа ЭЭГ с расчетом показателей Ляпунова и энтропии для здорового человека и при парциальной (фокальной) эпилепсии.

Подходы

Для численного расчета спектра Ляпунова используют подход Бенеттина ². Описанный метод можно применять только в том случае, если известны уравнения эволюции системы. Но для экспериментальных данных эти уравнения обычно неизвестны.

В работе ³ Алан Вольф и его соавторы предложили алгоритм, который позволяет оценивать неотрицательные показатели Ляпунова на основе временных рядов. Идея метода заключается в вычислении старшего показателя Ляпунова по выборке из единственной координаты, и используется, когда неизвестны уравнения эволюции системы, и нельзя измерить все её фазовые координаты. Происходит слежение за долгосрочными темпами роста элементов
малого объема в аттракторе.

Метод Розенштейна⁴ прост для реализации и показывает хорошую скорость расчета, однако, результатом его работы является не численное значение λ1, а некоторая функция от времени.

Алгоритм Кантца ⁵ рассчитывает старший показателя Ляпунова путём поиска всех соседей в окрестности опорной траектории и высчитывает среднюю дистанцию между соседями и опорной траекторией как функцию от времени (или относительное время, умноженное на частоту выборки данных).

1. Gulick D. Encounters with Chaos, McGraw-Hill, New York, 1992.
2. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. Vol. A14. P. 2338–2345.
3. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica. 1985. Vol. D16. P. 285–317
4. Rosenstein M. T., Collins J. J. and De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents
   from small data sets // Physica. 1993. Vol. D 65. P. 117–134
5. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. 1994. Vol.
   A 185. P. 77–87.