Вейвлет-преобразование

Вейвлет-преобразование (англ. Wavelet transform) – это математическое преобразование, которое позволяет перевести сигнал из временного представления в частотно-временное.

Сущность метода

Рисунок 1. Иллюстрация работы вейвлета. График волновой функции (черный) накладывается на график сигнала (фиолетовый), “вырезая” попавший под него участок

В основе метода лежат так называемые вейвлеты (с фр. маленькая волна) – функции, определяющие какой вид будет иметь анализируемый сигнал после преобразования.

Фактически, вейвлет представляет собой волновую функцию, которая накладывается на имеющийся график сигнала, тем самым позволяя определить его свойства на конкретном участке сигнала. Грубо говоря, он представляет собой своеобразный “шаблон” или “трафарет”, который накладывается на график сигнала, “вырезая” тот его участок, что попадает под вейвлет, позволяя взаимодействовать с ним.

Рисунок 2. Вейвлеты (слева) различной частоты f, f, 2f  и масштаба Fb, 3Fb, Fb (сверху-вниз) и их амплитудные спектры (справа), единицы измерения условные

На сегодняшний день существует более 400 видов вейвлетов, однако в исследованиях ЭЭГ используются гармонические вейвлеты Морле.12345

Помимо вейвлетов Морле, возможно применение других вейвлетов в анализе ЭЭГ, например, вейвлетов Добеши.6 Однако использование остальных вейвлетов не распространено и почти не имеет исследований в области анализа ЭЭГ.

Стоит учитывать, что каждый вейвлет имеет собственную формулу, которая и задает какая часть сигнала будет вырезаться и преобразовываться из общего полученного сигнала. Так, каждый вейвлет подгоняет сигнал под определенные характеристики, что обусловливает выбор тех или иных вейвлетов для анализа сигналов разной природы.

В результате вейвлет-преобразования вырезанный и подогнанный под рамки формулы используемого вейвлета сигнал представляет собой локальный спектр  – спектр отрезка сигнала без потерь в частотной составляющей (пример приведен на рисунке 2). 

Это действие позволяет не только определять свойства сигнала на определенном его участке, но и масштабировать график без потерь в разрешении. 

Виды вейвлет-преобразования

Вейвлет-преобразование принято разделять на дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и непрерывное вейвлет-преобразование (НВП).

  1. Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) – вейвлет-преобразование, в котором вейвлеты представлены прерывными выборками сигналов (т.е. метод направлен на работу с дискретными данными). ДВП позволяет анализировать и преобразовывать сигналы с использованием компьютера и также применяется в работе с биомедицинскими данными, в том числе с сигналами ЭЭГ.7
  2. Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) – вейвлет-преобразование, в котором вейвлеты представлены непрерывными выборками сигналов. Данный метод используется для обработки непрерывных сигналов и применяется в научных исследованиях в областях радиотехники, связи, геофизики и других отраслях науки и техники [3].8  Использование данного метода в анализе сигналов ЭЭГ получило наиболее широкое распространение.91011

Реализация метода

На сегодняшний день для реализации вейвлет-преобразования на практике применяют различные системы для математического моделирования, такие как MATLAB и Mathcad, Mathematica.1213

Рисунок 3. Данные, полученные после вейвлет-преобразования ЭЭГ-сигнала

Вейвлет-преобразование данных ЭЭГ, как правило, осуществляется в системе MATLAB с помощью расширения Wavelet-toolbox по следующему алгоритму:

  1. Запуск системы математического моделирования MATLAB; 
  2. Импорт данных ЭЭГ во внутренние переменные (File > Import Data)
  3. Выбор файлов с результатами ЭЭГ; 
  4. Выбор кнопки «NEXT», Переключение radio-кнопки на опцию “Create Vectors…” и далее «Finish»; 
  5. Запуск меню Wavelet Toolbox – с помощью команды wavemenu; в появившемся окне выбор кнопки «Continuous Wavelet 1D»;
  6. Загрузка данные из Excel в MATLAB (File>Import Signal From Workspace); 
  7. В поле Wavelet выбор кнопки «db» (означает вейвлет Добеши, но возможно применение любого другого вейвлета) и далее нажимаем на кнопку Analyze для завершения вейвлет-преобразования сигнала ЭЭГ.
Рисунок 4. Вейвлет-преобразование электрической активности коры в норме

Верхний график – это анализируемый сигнал, полученный при снятии ЭЭГ в цикле, нижний – график коэффициентов разложения по вейвлету db – Добеши. Чередование светлых и темных областей – соответствует изменению уровня сигнала. Переход между двумя черными полосами соответствует переходу между минимумом и максимумом функции (полупериод).

Кроме того, возможно более расширенное представление данных, полученных в результате анализа сигнала ЭЭГ с помощью вейвлет-преобразования (представлено на рисунке 4). Программное обеспечение для данного варианта вейвлет-преобразования было создано в ИРЭ им. В.И. Котельникова РАН под руководством профессора Ю.В. Обухова специально для количественной оценки частотно-временной структуры и степени дезорганизации ЭЭГ во времени.1415

Преимущества и недостатки метода

Преимущества вейвлет-преобразования:

  • Возможность оценить динамику изменения ЭЭГ в каждый момент времени без явления спектральной утечки, т.е. явления, сущность которого состоит в распределении мощности спектральных составляющих по диапазону частот. Это приводит к появлению новых частот, которых нет в изначальном сигнале, т.е. мощности реальных частот “просачиваются” в другие диапазоны;
  • Возможность получить локальный спектр для отдельных вспышек сигнала ЭЭГ.

Недостатки вейвлет-преобразования:16

  • Амплитудные искажения – вейвлет-преобразование является фильтром, который “вырезает” из спектра сигнала гармонические составляющие (син. гармоника – сумма по всем частотам)  с помощью наложения колоколообразного Гауссова окна в диапазоне частот, который определяется масштабом и частотой вейвлета. Так, возникает существенное подавление гармоник в полосе пропускания от средней частоты до частот среза и заметное пропускание гармоник в полосе задержания;
  • Вейвлет-преобразование приводит к результирующим погрешностям, иногда доходящим до 64% от результатов корректного классического спектрального преобразования;
  • Результаты использования вейвлетов различного масштаба и частоты плохо сопоставимы между собой из-за неконтролируемого и нелинейного изменения частотной полосы и эффекта перекрытия полос.

Практическое применение метода

Вейвлет-преобразование позволяет анализировать динамику ЭЭГ в каждый момент времени и подробно рассмотреть отдельные вспышки сигнала в форме отдельного графика.

На сегодняшний день описанные особенности вейвлет-преобразования используют для: 

Footnotes

  1. Кулаичев А.П. «Критика вейвлет анализа ээг» // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 12-1: стр. 47-57. 2016
  2. Грубов В.В., Овчинников А.А., Ситникова Е. Ю., Короновский А.А., Храмов А.Е. “Вейвлетный анализ сонных веретен на ЭЭГ и разработка метода их автоматической диагностики” Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, vol. 19, no. 4, 2011, pp. 91-108
  3. О.С. Сушкова, М.С. Королев, А.В Габова, С.Н. Иллариошкин, А.В. Карабанов, К.Ю. Обухов, Ю.В. Обухов Анализ ЭЭГ с помощью вейвлет-преобразования Морле// 2015 г.
  4. Cohen M.X. Analyzing Neural Time Series Data. Theory and Practice. Massachusetts Institute of Technology, 2014
  5. Кузнецова Г.Д., Габова А.В., Лазарев И.Е., Обухов Ю.В., Обухов К.Ю.,Морозов А.А., Куликов М.А., Щацкова А.Б., Васильева О.Н., Томиловская Е.С. Частотно-временная структура электроэнцефалограммы человека в условиях искусственной гипогравитации: модель «сухой» иммерсии// Авиакосмическая и экологическая медицина Т. 49 № 3 С. 25–32
  6. Кобылат А.О. “Алгоритм проведения вейвлет-преобразования данных ЭЭГ” Современные инновации, no. 3 (5), 2016, стр. 22-25
  7. Кротких С. С., Кириченко Л. О. «Исследование вызванных потенциалов в ЭЭГ человека с помощью дискретного вейвлет-преобразования» Радіоелектроніка, інформатика, управління, no. 2 (25), 2011, стр. 86-92
  8. А.Н. Яковлев «Введение в вейвлет-преобразования»// МИНОБР РФ НГТУ, стр.18, Новосибирск, 2003
  9. Грубов В.В., Овчинников А.А., Ситникова Е. Ю., Короновский А.А., Храмов А.Е. “Вейвлетный анализ сонных веретен на ЭЭГ и разработка метода их автоматической диагностики” Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, vol. 19, no. 4, 2011, pp. 91-108
  10. Туровский Я.А. “Вейвлет-анализ электроэнцефалограммы: электрофизиологические феномены и их интерпретация” Вестник Волгоградского государственного медицинского университета, no. 3 (39), 2011, pp. 97-99
  11. Кузнецова Г.Д., Габова А.В., Лазарев И.Е., Обухов Ю.В., Обухов К.Ю.,Морозов А.А., Куликов М.А., Щацкова А.Б., Васильева О.Н., Томиловская Е.С. Частотно-временная структура электроэнцефалограммы человека в условиях искусственной гипогравитации: модель «сухой» иммерсии// Авиакосмическая и экологическая медицина Т. 49 № 3 С. 25–32
  12. А.Н. Яковлев «Введение в вейвлет-преобразования»// МИНОБР РФ НГТУ, стр.18, Новосибирск, 2003
  13. Кобылат А.О. “Алгоритм проведения вейвлет-преобразования данных ЭЭГ” Современные инновации, no. 3 (5), 2016, стр. 22-25
  14. А.В. Габова, В.В. Гнездицкий, А.В. Карабанов, С.Н. Иллариошкин, Ю.В. Обухов, А.А. Морозов, М.С. Королев, Т.П. Шевцова, Г.Д. Кузнецова, А.С. Базян Использование вейвлет преобразований для анализа электрической активности мозга при болезни Паркинсона//Журнал: Нервные болезни 3*2012, стр. 2-7
  15. Кузнецова Г.Д., Габова А.В., Лазарев И.Е., Обухов Ю.В., Обухов К.Ю.,Морозов А.А., Куликов М.А., Щацкова А.Б., Васильева О.Н., Томиловская Е.С. Частотно-временная структура электроэнцефалограммы человека в условиях искусственной гипогравитации: модель «сухой» иммерсии// Авиакосмическая и экологическая медицина Т. 49 № 3 С. 25–32
  16. Кулаичев А.П. «Критика вейвлет анализа ээг» // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 12-1: стр. 47-57. 2016
  17. М. С. Ча, А. Н. Калиниченко «Использование вейвлет-преобразования и фильтра Калмана для удаления окулографических артефактов из сигнала ЭЭГ»// Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ» № 5/2017, стр.59-62
  18. Bono V, Das S, Jamal W, Maharatna K. Hybrid wavelet and EMD/ICA approach for artifact suppression in pervasive EEG. J Neurosci Methods. 2016;267:89-107. doi:10.1016/j.jneumeth.2016.04.006
  19. Грубов В.В., Овчинников А.А., Ситникова Е. Ю., Короновский А.А., Храмов А.Е. “Вейвлетный анализ сонных веретен на ЭЭГ и разработка метода их автоматической диагностики” Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, vol. 19, no. 4, 2011, pp. 91-108
  20. А.В. Габова, В.В. Гнездицкий, А.В. Карабанов, С.Н. Иллариошкин, Ю.В. Обухов, А.А. Морозов, М.С. Королев, Т.П. Шевцова, Г.Д. Кузнецова, А.С. Базян Использование вейвлет преобразований для анализа электрической активности мозга при болезни Паркинсона//Журнал: Нервные болезни 3*2012, стр. 2-7
  21. Кузнецова Г.Д., Габова А.В., Лазарев И.Е., Обухов Ю.В., Обухов К.Ю.,Морозов А.А., Куликов М.А., Щацкова А.Б., Васильева О.Н., Томиловская Е.С. Частотно-временная структура электроэнцефалограммы человека в условиях искусственной гипогравитации: модель «сухой» иммерсии// Авиакосмическая и экологическая медицина Т. 49 № 3 С. 25–32
  22. Пермяков А.А., Елисеева Е.В., Юдицкий А.Д., and Исакова Л.С.. “Вейвлет- анализ электрической активности дорсального гиппокампа крыс при хронических аудиогенных воздействиях” Вестник новых медицинских технологий, vol. XXII, no. 3, 2015, pp. 111-116
  23. Габова А.В., Кузнецова Г.Д., Гнездицкий В.В., Базян А.С., Обухов Ю.В.. “Метод вейвлет-преобразования в неврологии: анализ частотно-временных характеристик типичных и атипичных разрядов неконвульсивной эпилепсии” Анналы клинической и экспериментальной неврологии, vol. 3, no. 4, 2009, pp. 39-44
  24. Ситникова Е.Ю., Смирнов К.С., Грубов В. В., Храмов А. Е. “Принципы диагностики незрелой эпилептической (проэпилептической) активности на ээг у крыс с генетической предрасположенностью к абсанс-эпилепсии” Информационно-управляющие системы, no. 1 (98), 2019, pp. 89-97
  25. Zhang M, Zhang B, Chen Y. Sheng Wu Yi Xue Gong Cheng Xue Za Zhi [Wavelet entropy analysis of spontaneous EEG signals in Alzheimer’s disease] 2014;31(4):755-770
  26. Яковенко И.А., Черемушкин Е.А., Козлов М.К. “Влияние дополнительных заданий на формирование когнитивной установки (электроэнцефалографическое исследование)” Педиатр, vol. 5, no. 1, 2014, pp. 49-56
  27. Yohanes RE, Ser W, Huang GB. Discrete wavelet transform coefficients for emotion recognition from EEG signals. Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc. 2012;2012:2251-2254. doi:10.1109/EMBC.2012.6346410
  28. Prucnal MA, Polak AG. Analysis of Features Extracted from EEG Epochs by Discrete Wavelet Decomposition and Hilbert Transform for Sleep Apnea Detection. Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc. 2018;2018:287-290. doi:10.1109/EMBC.2018.8512201