Показатели Ляпунова

Показатели Ляпунова
Lyapunov exponent, Lyapunov-Meyer functions
Popularity75 📈
Use case

Оценка хаотичности сигнала ЭЭГ

Classification

Эргодическая теория
Хаос

Биомедицинские сигналы (такие как ЭЭГ)  имеют сложную структуру и, по сути, являются хаотическими сигналами. По определению хаоса данному D. Gulick1 хаос существует тогда, когда либо имеется существенная зависимость от начальных условий, либо функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической.

Идея показателей Ляпунова состоит в том, чтобы определять такие характерные числа для динамической системы, которые позволяют классифицировать ее поведение как устойчивое либо хаотическое. Значения показателей Ляпунова учитывают сходимость или расхождение ближайших траекторий фазового пространства системы.

Спектр Ляпунова может быть использован для оценки скорости нарастания энтропии и фрактальной размерности рассматриваемой динамической системы.

Применение для ЭЭГ анализа

В исследовании Goshvarpour, 2013 описана процедура анализа ЭЭГ с расчетом показателей Ляпунова и энтропии для здорового человека и при парциальной (фокальной) эпилепсии.

ЭЭГ парциальная (фокальная) эпилепсия
ЭЭГ здорового человека и больного во время приступа парциальной эпилепсией

Источник Goshvarpour, 2013 г. Электроэнцефалограмма здорового человека и больного во время приступа парциальной (фокальной) эпилепсии

Функция (экспонента) Ляпунова, парциальная эпилепсия
Функция Ляпунова: ЭЭГ здорового человека и при парциальной эпилепсии

Источник Goshvarpour, 2013

Энтропия ЭЭГ: норма и парциальная эпилепсия
Энтропия ЭЭГ: норма и парциальная эпилепсия

Источник Goshvarpour, 2013 "Энтропия в биоэлектрическом сигнале"

Подходы

Для численного расчета спектра Ляпунова используют подход Бенеттина 2. Описанный метод можно применять только в том случае, если известны уравнения эволюции системы. Но для экспериментальных данных эти уравнения обычно неизвестны.

В работе 3 Алан Вольф и его соавторы предложили алгоритм, который позволяет оценивать неотрицательные показатели Ляпунова на основе временных рядов. Идея метода заключается в вычислении старшего показателя Ляпунова по выборке из единственной координаты, и используется, когда неизвестны уравнения эволюции системы, и нельзя измерить все её фазовые координаты. Происходит слежение за долгосрочными темпами роста элементов
малого объема в аттракторе.

Метод Розенштейна4 прост для реализации и показывает хорошую скорость расчета, однако, результатом его работы является не численное значение λ1, а некоторая функция от времени.

Алгоритм Кантца 5 рассчитывает старший показателя Ляпунова путём поиска всех соседей в окрестности опорной траектории и высчитывает среднюю дистанцию между соседями и опорной траекторией как функцию от времени (или относительное время, умноженное на частоту выборки данных).

Footnotes

  1. Gulick D. Encounters with Chaos, McGraw-Hill, New York, 1992.
  2. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. Vol. A14. P. 2338–2345.
  3. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica. 1985. Vol. D16. P. 285–317
  4. Rosenstein M. T., Collins J. J. and De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents
    from small data sets // Physica. 1993. Vol. D 65. P. 117–134
  5. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. 1994. Vol.
    A 185. P. 77–87.