Корреляционный анализ

Коэффициент корреляции между отведениями характеризует меру линейной связи между отведениями ЭЭГ-сигнала без выделения частотных составляющих и без учета фазовых соотношений сигналов, как при когерентном анализе. Применяется при анализе пространственной организации процессов мозга (Ливанов М.Н.). Меняется от -1 до 1. Близкие к нулю значения указывают на отсутствие линейной связи между отведениями. В отличие от когерентности, требующий порядка 20 с для эпохи анализа, корреляция может обойтись эпохами в доли секунды, что делает возможным анализ быстротекущих функциональных взаимоотношений между областями мозга.

Автокорреляционная функция представляет собой множество усредненных значений произведения процесса x(t) и этого же процесса с некоторым сдвигом, в этом случае могут быть визуально выявлены периодические компоненты исходного сигнала. Спектральная плотность мощности является преобразованием Фурье автокорреляционной функции.

Кросскорреляционная функция представляет собой усредненное значение произведения процесса x(t) и процесса y(t) с некоторым сдвигом. Взаимная спектральная плотность мощности является преобразованием Фурье кросскорреляционной функции.

Авто- и кросскорреляционная функции математически эквивалентны спектральному анализу, однако представляют результаты в менее удобном для дальнейшей обработк, виде.

Для анализа фоновой биоэлектрической активности мозга широко применяется спектральный метод анализа, описывающий распределение мощности по частотным составляющим изучаемого процесса. Можно указать следующие причины такого широкого применения метода: амплитудно-частотные характеристики ЭЭГ наиболее информативны для исследования текущего функционального состояния ЦНС; спектральные характеристики ЭЭГ поддаются математической и статистической обработке и потенциально могут дать эффективные методы анализа ЭЭГ, которые невозможно получить при традиционных методиках.

Получение цифровых оценок корреляционных функций

Цифровые оценки автокорреляционной и взаимной корреляционной функции

При анализе сигналов и процессов широкое применение находят автокорреляционная функция (АКФ) и взаимная корреляционная функция (ВКФ). Оценка АКФ для дискретного сигнала рассчитывается по формуле (2.1):

R_{x y}(m)=\frac{N \sigma_{x}^2 }} & {\sum_{n=0}^{N-|m|-1} x(n+m) x(n) m = -(N- 1),…,N— I, (2.2)

где x(n) — отсчеты сигнала; N — число отсчетов; m — число сдвигов; σх — оценка среднеквадратического отклонения сигнала x(n).

В свою очередь оценка ВКФ для двух дискретных сигналов рассчитывается с использованием следующих выражений:

R_{x y}(m)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{N \sigma_{x} \sigma_{y}}} & {\sum_{n=0}^{N-m-1} x(n) y(n+m), \quad m = 0, 1, ..., N-1} \\ {\frac{1}{N \sigma_{x} \sigma_{y}}} & {\sum_{n=0}^{N+m-1} x(n-m) y(n), \quad m = 0, 1, ..., -(N-1)}\end{array}\right. (2.3)

где x(n) и у(n) — отсчеты двух сигналов; N — число отсчетов для каждого из них; m — число сдвигов; σх и σу — оценки среднеквадратических отклонений этих сигналов.

Величины, рассчитанные по формулам (2.1) и (2.2), называются нормированными смещенными оценками ЛКФ и ВКФ. Их значения лежат в пределах от — 1 до +1. ЛКФ показывает наличие внутренних периодичностей в сигнале. Она всегда равна единице при нулевом сдвиге (т. е. при m= 0), симметрична относительно оси ординат и затухает с увеличением m тем медленнее, чем сильное выражены периодичности в сигнале. ВКФ позволяет оценить наличие сходных по частоте колебаний в двух сигналах. Если при каких-то значениях сдвига модуль значения ВКФ приближается к единице, то это служит признаком наличия в сигналах однотипных изменений, происходящих с задержкой, равной сдвигу.

При анализе медико-биологических сигналов часто применяется коэффициент взаимной корреляции (КВК), который по сути представляет собой значение ВКФ при нулевом сдвиге. Оценка КВК для двух дискретных сигналов .т(п) и у(п) рассчитывается следующим образом:

R_{x y}=\frac{N \sigma_{x} \sigma_{y}} & {\sum_{n=0}^{N-1} x(n) y(n)

Значение КВК, рассчитанное по данной формуле, лежит в пределах от 1 до Ч I. Если модуль КВК приближается к единице, то это свидетельствует о существовании какого-то вида линейной связи между сигналами. Если модуль КВК близок к нулю, то это является признаком отсутствия линейной зависимости между сигналами.

Применение корреляционных методов при анализе биомедицинских сигналов

ЛКФ и ВКФ широко используются при анализе электроэнцефалограмм (ЭЭГ). ЛКФ позволяет выявить присутствие ритмов в ЭЭГ, а ВКФ дает возможность оценить взаимосвязь электроэнцефалографических событий в сигналах ЭЭГ, снятых в разных зонах на поверхности головы.

На рис. 1 приведен пример расчета АКФ (графики г, д, е) и ВКФ (графики ж, з, и) для трех синхронно зарегистрированных фрагментов ЭЭГ человека (графики а, б, в). ЭЭГ на графиках а и б сняты с затылочной области головы и содержат выраженный альфа-ритм, проявляющийся в виде колебаний почти синусоидальной формы с частотой примерно 10 Гц. Нижняя ЭЭГ (в) получена с лобной области головы и носит характер хаотического процесса. Из графиков АКФ видно, что присущая первым двум сигналам периодичность приводит к тому, что их автокорреляционная функция затухает относительно медленно. В то же время АКФ для третьего сигнала затухает очень быстро, что демонстрирует его случайный характер. ВКФ сигналов / и 2 затухает медленно, что показывает наличие в этих сигналах сходных периодичностей. ВКФ, рассчитанная для двух других пар сигналов, принимает относительно небольшие значения, что свидетельствует об отсутствии существенной связи между соответствующими сигналами.

Пример расчета АКФ и ВКФ для трех фрагментов ЭЭГ
Рис. 1. Пример расчета АКФ и ВКФ для трех фрагментов ЭЭГ
Графики синхронно снятых 16 каналов ЭЭГ
Рис. 2. Графики синхронно снятых 16 каналов ЭЭГ
Графическое изображение матрицы коэффициентов взаимной корреляции
Рис. 3. Графическое изображение матрицы коэффициентов взаимной корреляции

Коэффициент взаимной корреляции часто используется для оценки степени связанности сигналов ЭЭГ, снимаемых с электродов, расположенных в различных точках головы человека. Это дает возможность судить о взаимосвязи процессов, происходящих в различных областях головного мозга. На рис. 2 показаны графики синхронно снятых 16 каналов ЭЭГ. Верхним графикам соответствуют сигналы, полученные с лобной части головы, а нижним — с затылочной. Графическое изображение значении матрицы коэффициентов взаимной корреляции приведено на рис. 3. Здесь значениям КВК в диапазоне от -1 до 1 соответствуют оттенки серого от черного цвета до белого. Видно, что значения КВК симметричны относительно диагонали матрицы. Кроме того, можно отметить убывание значений по мере удаления от диагонали, что демонстрирует более слабую связь между сигналами, полученными от далеко расположенных электродов.

Корреляционные функции также используются и при автоматическом анализе ЭКГ. В частности, в 3.6 рассмотрено применение ВКФ для решения задачи классификации форм желудочковых комплексов ЭКГ.