Корреляционный анализ

Корреляционный анализ ЭЭГ (англ. correlation analysis, метод анализа корреляционной синхронности, КА) — это математический метод, целью которого является изучение связи между изменениями биопотенциалов в пределах одного или нескольких ЭЭГ-сигналов. Он направлен на количественную оценку устойчивости, повторяемости колебаний биопотенциала и основан на вычислении коэффициента корреляции и авто- и кросскорреляционных функций. Корреляционный анализ был более распространен в прошлом, т.к. для проведения, например, спектрального анализа необходимо наличие компьютера.

Принцип метода


Рассмотрим, что такое корреляция, на примере изменений веса в зависимости от количества потребляемых калорий и уровня физической активности (рис. 1). По оси x – количество калорий (или пройденные километры), а по оси y – прибавка в весе. После построения графика видно, что чем больше человек потребляет калорий, тем больший вес он набирает (прямая зависимость, положительная корреляция); чем больше калорий тратится (например, на ходьбу или другой вид физической активности), тем меньше прибавка в весе (это обратная зависимость, отрицательная корреляция).

Для числового выражения корреляции существует коэффициент корреляции – он отражает, насколько полученная взаимосвязь верна (рис. 2). Но не стоит путать корреляцию и причинность (причинно-следственную связь). Например, существует прямая сильная корреляционная зависимость между количеством потребляемого мороженого и лесных пожаров. Человек, считающий, что корреляция и причинность – это тождественные понятия, сделал бы вывод о том, что как только он съедает мороженое, где-то на планете вспыхивает лес, подразумевая, что эти два события коррелируют друг с другом. Но это не так – пожары и потребление мороженого связывает высокая температура воздуха на улице. Таким образом, в данном случае событие А (потребление мороженого) является причиной события Б (лесных пожаров) – это причинно-следственная связь. Если же речь идет о корреляции, то говорится, что события А и Б (потребление мороженого и лесные пожары, соответственно) – происходят вместе, одновременно, то есть при поедании мороженого вспыхивает лес.

Рисунок 1. Изменения веса в зависимости от количества потребляемых калорий и физической активности
Рисунок 2. Коэффициент корреляции: при +1 – всегда при увеличении одной величины будет увеличиваться и вторая (например, при переводе километров в метры), при -1 – всегда при увеличении одной величины вторая будет уменьшаться, при -0,5 и +0,5 – зависимость существует иногда, а при 0 – связь отсутствует.

Применение в анализе ЭЭГ сигнала


Применяется корреляционный анализ для:

  1. Поиска смешанных с шумом сигналов с известными свойствами, с электродов, установленных в различных точках головы;
  2. Обнаружения повторяющихся событий (например, спайк-волн ЭЭГ сигнала)1
  3. Построения топограмм;
  4. Выделения преобладающих ритмов (например, альфа-, бета-, гамма-ритм и т.д.), их анализа по отдельности (позволяет автокорреляционная функция);
  5. Выявить степень связанности двух точек мозга, выделить наличие амплитудно-частотной асимметрии полушарий (различий сигналов, полученных из правого и левого полушарий по амплитуде и частоте) и определить нахождение патологического очага (с помощью кросскорреляционной функции).
Рисунок 3. Иллюстрация огибающей

а — исходный сигнал; б — огибающая; в — близкий к огибающей результат, полученный при помощи 10 сглаживаний; г — огибающая после удаления высоких частот

Анализ корреляционной синхронности включает три этапа:2

  1. Фильтрация ЭЭГ – при помощи преобразования Фурье или быстрого преобразования Фурье – представляет собой разложение сигнала на гармонические составляющие. Чаще всего для анализа выбирают альфа-диапазон. 
  2. Вычисление огибающей – кривой, которая огибает положительные и инвертированные негативные колебания (рис. 3). Ее используют для упрощения выполнения корреляционного анализа, поскольку сама огибающая представляет собой динамику изменения амплитуды ЭЭГ-сигнала, которая отражает синхронность изменения потенциалов.
  3. Оценка синхронности при помощи вычисления коэффициента корреляции Пирсона (при нормальном распределении) и Спирмена (при распределении, отличающемся от нормального) между огибающими в парах отведений.3
  4. Последний этап – построение авто- (при анализе в пределах одного отведения) или кросскорреляционной функции (при анализе двух отведений), которые представляют собой зависимость коэффициента корреляции явления от временного сдвига. Применяется, чтобы отследить динамику изменения силы взаимосвязи по времени.

Математические основы


Как сказано выше, в КА входит в себя поиск коэффициента корреляции – числа, показывающего наличие и степень связи между отведениями ЭЭГ-сигнала. Выделяют параметрический коэффициент корреляции Пирсона, применяемый, чтобы определить степень взаимосвязи явлений в рядах с нормальным распределением, и непараметрический коэффициент корреляции Спирмена, используемый при обработке данных, распределение которых отличается от нормального.4 Нахождение коэффициента корреляции Пирсона производится по формуле ниже.

r_{x y}=\sigma_{x_{y}} /\left(\sigma_{x} \sigma_{y}\right)

Значение коэффициента корреляции Пирсона варьируется от -1 до +1. Чем меньше его значение по модулю, тем меньше степень взаимосвязи между явлениями, т.е. наиболее явно связь прослеживается при коэффициенте корреляции +1 или -1.

Прямая корреляция (коэффициент корреляции больше 0) свидетельствует о синфазности, нарастающая амплитуда первого сигнала соответствует увеличению амплитуды второго сигнала, и так же при уменьшении. 

Обратная корреляция (коэффициент корреляции меньше 0) – означает, что  сигналы противофазны, т.е. нарастающая амплитуда первого сигнала соответствует уменьшению амплитуды второго сигнала и наоборот.

При значении коэффициента корреляции 0 сигналы асинхронны, т.е. изменение одного сигнала никак не затрагивает показатели второго. Значимость полученного коэффициента оценивают при помощи критерия Стьюдента.

Помимо коэффициента корреляции в этом анализе существует два понятия: авто- и кросскорреляция. Автокорреляционный анализ оценивает устойчивость (повторяемость) амплитудно-частотных параметров активности в заданном отведении. Кросскорреляционый анализ оценивает повторяемость (схожесть) параметров активности в двух выбранных отведениях.

Коэффициент корреляции


Рисунок 4. Сравнение автокорреляционной функции (АКФ) и кросскорреляционной функции (ВКФ) для трех разных отведений

Значение корреляционного анализа состоит в нахождении автокорреляционной функции, которая показывает преобладающие ритмы, или взаимно-корреляционной функции, отражающей связь фрагмента обрабатываемого сигнала и эталона сигнала без помех и шумов или же связь между двумя неочищенными сигналами. (рис. 4) Биомедицинские сигналы относятся к квазипериодическим сигналам. ЭЭГ-сигналы содержат эпохи, имеющие схожие друг с другом характеристики. Эпоха ЭЭГ-сигнала – это произвольно выделенный период времени в записи ЭЭГ (чаще всего составляет 10 с.) В качестве эталона какой-либо эпохи ЭЭГ-сигнала используется либо стандартный фрагмент данного сигнала, свободный от помех и шумов, либо искусственно созданная модель стандартного фрагмента ЭЭГ-сигнала, построенная на основе заранее известных данных о форме и амплитудно-временных характеристик “чистого” фрагмента. Сравнение автокорреляционной функции (АКФ) и кросскорреляционной функции (ВКФ) для трех разных отведений представлено на рис. 4.  График под буквой г изображает автокорреляционную функцию фрагмента а. Подобная функция графика свидетельствует о том, что сходство двух эпох данного сигнала сходит на ноль относительно медленно. Следовательно, мы можем сделать вывод о периодичности процессов, протекающих в данном отведении, т.к. отдельные его фрагменты достаточно сильно схожи друг с другом. Аналогичные выводы можно сделать и о сигнале на графике б, опираясь на его функцию, обозначенную буквой д.

Рисунок 5. Применение корреляционного анализа к обработке ЭЭГ-сигнала

С другой стороны, график в, автокорреляционная функция которого изображена на рисунке е, изображает хаотический процесс, отдельные фрагменты которого не подобны друг другу. Об этом свидетельствует крайне быстрое затухание его автокорреляционной функции. Т.о. процессы, протекающие в данном отведении, непериодичны, т.к. отдельные фрагменты графика мало схожи друг с другом.

График ж изображает кросс-корреляционную функцию между сигналами а и б. Ее медленное затухание свидетельствует о наличии взаимовлияния фрагментов а и б. График з и график и отражают кросс-корреляционную функцию между сигналами бв и ав соответственно. Поскольку затухание графика происходит достаточно быстро, мы можем сделать вывод о том, что между данными отрезками ЭЭГ-сигнала отсутствует существенная взаимосвязь. 

Рисунок 6. Результат сравнения графиков напряжения при использовании сухих и влажных электродов

Корреляционный анализ применительно к исправлению графика ЭЭГ можно изобразить так: в центре иллюстрации приведено два графика – график воздействия стимула сверху (синий цвет) и фрагмент ЭЭГ снизу (синий цвет).  (рис. 5)

В правой части иллюстрации изображены графики скорости воздействия стимула (синий цвет) и средней формы волны (розовый цвет). Последний был получен путем суммации изначальных ЭЭГ-графиков. Их также подвергли кросскорелляционному анализу, результат которого приведен ниже (розовый цвет). Затем, используя полученные данные о корреляции, был построен исправленный график ЭЭГ-сигнала (розовый цвет).

В левой части изображены графики скорости воздействия стимула (синий цвет) и мощности ЭЭГ (зеленый цвет). Их подвергли кросскорелляционному анализу, результат которого приведен ниже (зеленый цвет). Затем, используя полученные данные о корреляции, был построен исправленный график ЭЭГ-сигнала (зеленый цвет).

В случае, изображенном на рис. 6, сравниваются графики напряжения при использовании сухих (красный) и влажных (синий) электродов. Степень корреляции результатов представлена в виде графика черного цвета в верхней части изображения.

Корреляционная функция


Для графического отображения полученных результатов применяют корреляционную функцию (КФ), являющуюся зависимостью коэффициента корреляции явления от временного сдвига (лага).5 Существует два вида КФ: классическая, или техническая, и интервальная (рис. 7 и рис. 8 соответственно). Классическая корреляционная функция для анализа ЭЭГ не подходит, т.к. при разных t анализу будут подлежать участки разной протяженности, а для сопоставимости коэффициентов корреляции это допустимо только в случае стационарности процессов, которые сохраняют свои свойства на всей протяженности.

Классическая корреляционная функция имеет недостатки:

  1. невозможность сопоставлять коэффициенты корреляции, которые были вычислены для фрагментов ЭЭГ с различной протяженностью, поскольку полученные коэффициенты будут иметь разные характеристики (т.к. ЭЭГ не является стационарным процессом)
  2. размер выборки может отличаться; величины на одном конце функции могут быть значимые, а на другом – нет.
Рисунок 7. Классическая, или техническая, корреляционная функция

При построении интервальной корреляционной функции на записи сигнала обращают внимание на корреляционный образец χ длиной Δt, от которого начинается эпоха анализа Т. Чтобы найти связь между явлениями χ при изменении t, необходим анализ равноразмерных участков γ, которые сдвинуты относительно χ на значение τ. (рис. 8) 

Если сравнивать интервальную и классическую корреляционные функции, то можно заметить, что интервальная функция имеет несколько преимуществ:

  1. Используется чаще при выявлении задержек в ЭЭГ-сигнале;
  2. Повторение этапов высоких значений при сдвигах образца;
  3. Ее легко интерпретировать.

При исследовании интервальной корреляционной функции необходимо отметить, что высокие значения функции при автокорреляции – это возможное следствие возврата к исходному функциональному состоянию, а в случае кросскорреляционной функции – задержки передачи сигнала между отведениями.

Рисунок 8. Интервальная корреляционная функция

Наиболее чувствительный метод для поиска различий в ЭЭГ-сигналах – огибающая ЭЭГ, оценивающая меру синхронности или асинхронности изменений постсинаптических потенциалов в исследуемых отведениях (амплитуда сигнала повышается при одновременном изменении двух сигналов).6

Достоинства и недостатки


К достоинствам корреляционного анализа ЭЭГ относится: 

  1. простота использования; 
  2. скорость получения результата; 
  3. отсутствие необходимости в приобретении сложного оборудования.

Недостатки корреляционного анализа:

  1. возможно выявление отчетливой связи лишь между доминирующими фрагментами сигнала;
  2. улавливание только быстротечных элементов изменения синхронности двух явлений.

Программное обеспечение


Программа “Синхро-С”

Программа “Синхро-С” предназначена для выполнения следующих видов анализа ЭЭГ-сигнала: индексометричесого, периодометрического, паттернового и корреляционного. Корреляционный анализ отображает характер пространственно-временных взаимодействий между четырьмя точками регистрации ЭЭГ за весь сеанс. В данном варианте анализа характер пространственно-временных взаимодействий определяется как сила связи процессов (точек регистрации ЭЭГ) и их временных соотношений (опережающий – ведущий, отстающий – ведомый, одновременный – синхронный). 

Основные моменты временных соотношений и силы связи характерные для нормы: 

1) лобные взаимодействия: сильные (коэффициент корреляции 0,7 – 0,9), стабильные (отклонения коэффициента корреляции +-0,10), синхронные (более чем в 90% случаев); 

2) затылочные: средние (коэффициент корреляции 0,5-0,7), умеренно динамичные (отклонения коэффициента корреляции +-0,15), несинхронные; 

3) лобно-затылочные взаимодействия: средне-слабые (но не отсутствие связи) (коэффициент корреляции 0,3 – 0,55), умеренно динамичные, несинхронные. 

Рассмотрим анализ ЭЭГ-сигнала в программе “Синхро-С” (рис. 9-12) на примере последовательного вычисления кросскорреляционных функций между отрезками O2-Fp1, O2-Fp2 и O2-O1 (в качестве эпохи выбрана длительность 4 секунды).7 Одной точке на графике соответствует результат анализа пар ЭЭГ длительностью 4 секунды. По оси «Х» – номера отрезков (эпох) ЭЭГ, а по оси «Y» – модуль коэффициента кросскорреляции, где цветом обозначен характер временных соотношений: синий – процесс ведущий, красный – процесс ведомый, зеленый – процесс синхронен опорному процессу. Опорный процесс (по отношению к которому производится измерение характера взаимодействий) определяется точкой в соответствующем окне. График опорного процесса не показывается в программе, так как он всегда зеленого цвета на уровне «1», что означает: данный процесс всегда синхронен самому себе с максимальной силой – 1.  В качестве опорных выбирают чаще всего O2 и Fp2, поскольку все остальные варианты будут зеркальными копиями. Начало работы в программе показано на рис. 9. Изображена условная норма. На тетрограмме сверху показан усредненный результат временных взаимодействий. Опорная точка O2.  Необходимо задать эпоху анализа (в данном случае – 4 секунды) в соответствующем окне внизу.  Для удобства необходимо остановить анализ на 150 эпохе (кнопка “Стоп”), поскольку, судя по изменению активности, пациент начал засыпать. Изменение опорной точки с O2 на Fp2 показано на рис. 11 и здесь также проводят удаление периодов засыпания пациента. Статистика динамики данных отражена на рис. 10 и рис. 12. 

Рисунок 9. Начало работы в программе

Изображена условная норма. На тетрограмме сверху показан усредненный результат временных взаимодействий. Опорная точка O2. Необходимо задать эпоху анализа (в данном случае - 4 секунды) в соответствующем окне внизу. Для удобства необходимо остановить анализ на 150 эпохе (кнопка “Стоп”), поскольку, судя по изменению активности, пациент начал засыпать.

Рисунок 10. Статистика динамики (см. рис. 9) при опорной точке O2

Сила связи О2-О1 должна быть больше, чем О2-Fp1 и O2-Fp2, и в этой же паре должно быть преобладание ведомых связей (но не синхронных). Количество синхронных связей во всех парах должно быть минимальным. В парах О2-Fp1 и O2-Fp2 соотношение ведущих и ведомых связей должно быть примерно одинаковым, но лучше преобладание ведомых связей

Рисунок 11. Изменение опорной точки с O2 на Fp2. Также проводят удаление периодов засыпания пациента. (см. рис. 9)
Рисунок 12. Статистика данных, изображенных на рис. 11

Данный пример не самый хороший, поскольку между лобными отведениями должна наблюдаться сильная, стабильная и синхронная связь.

Программа Энцефалан

Основная статья: Руководство по анализу ЭЭГ в программе Энцефалан

При корреляционном анализе ЭЭГ вычисляется автокорреляционная (АКФ) и кросс-корреляционная функции (ККФ). Построение автокорреляционных функций используется для выделения гармонических колебаний в случайном процессе. Кросс-корреляционный анализ ЭЭГ дает принципиально новые возможности для оценки процессов в двух точка мозга — количественно оценить степень сходства процессов или их связи, выявить общие компоненты и их соотношение, а также временные отношения разных ритмов.

Корреляционные методы позволяют более точно локализовать патологический процесс в тех случаях, когда ЭЭГ пораженной и смежной области сходны между собой и практически неотличимы при визуальной оценке.

В электроэнцефалографе «Энцефалан-131-03» режим «Автокорреляция» включает в себя следующие функциональные возможности:

  • расчет и визуализация автокорреляционных функций по всем отведениям;
  • топографическое картирование мгновенных значений автокорреляционной функции.

Для автокорреляционной функции в таблице выдаются значения:

  • Максимального интервала корреляции (МИК) [с] — интервал времени до первого пересечения автокорреляционной функции с нулем.
  • Доминирующей частоты (ДЧ) [Гц] — обратная величина от учетверенного значения интервала корреляции.

Режим «Кросс-корреляция» включает в себя следующие функциональные возможности:

  • расчет и визуализация кросс-корреляционных функций по всем отведениям относительно выбранного опорного отведения;
  • топографическое картирование значений и временных сдвигов максимумов ККФ.

Для кросс-корреляционной функции рассчитываются значения:

  • максимума функции ККФ (ЗМФ);
  • временных сдвигов максимумов ККФ (ЗВС) [с] — интервал времени между максимумами ККФ базового отведения и остальных отведений, используется для оценки фазовых задержек (запаздывания и опережения) по отведениям.
Графики кросс-корреляционных функций
Рисунок 13. Графики кросс-корреляционных функций

по всем отведениям относительно Cz с топографическим картированием максимумов ККФ для фрагмента ЭЭГ, показанного на Рис. 26.

Рассмотрим пример использования корреляционного анализа ЭЭГ. У больного с эпилептиформной активностью в ЭЭГ на графиках кросс-корреляционных функций всех отведений относительно отведения Cz видно (рис. 13), что фазы кросс-корреляционных функций в отведениях С3, Т3, Т5 и С4 совпадают, а в отведениях Р3, Pz, Р4, Т6 — противоположны. Это свидетельствует в пользу того, что очаг располагается где-то посредине между отведениями С3, Cz, Р3 и Pz.

АКФ позволяет представить информацию о периодичности процессов в гораздо более сжатой форме, чем это возможно на нативной ЭЭГ. К тому же периодичности, существующие в исходном процессе ЭЭГ, более отчетливо выражены в АКФ, что позволяет использовать ее для выявления слабых или скрытых периодичностей ЭЭГ. Большая чувствительность АКФ и наличие конкретных количественных показателей, рассчитываемых по ней, позволяет объективизировать изменения при различных функциональных состояниях мозга в норме и патологии. Количественный параметр степени затухания АКФ характеризует баланс возбуждающих и тормозных процессов и может использоваться при решении различных задач, в частности, наряду со спектральным анализом, для донозологической диагностики и контроля эффективности реабилитационных мероприятий.

Схема значимых корреляционных связей
Рисунок 14. Схема значимых корреляционных связей

отведений для фрагмента ЭЭГ, показанного на Рис. 26.

Footnotes

  1. Немирко А.П., Манило Л.А., Калиниченко А.Н. Математический анализ биомедицинских сигналов и данных. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. [Электронный ресурс]
  2. Г Кулаичев А.П. Метод анализа корреляционной синхронности ЭЭГ и его возможности. Журнал высшей нервной деятельности. 2011. 61(4): 485-498 [Электронный ресурс]
  3. Schaworonkow N, Nikulin VV (2019) Spatial neuronal synchronization and the waveform of oscillations: Implications for EEG and MEG. PLOS Computational Biology 15(5): e1007055. doi:10.1371/journal.pcbi.1007055
  4. Мишкова Татьяна Анатольевна, Бабачиева Нигина Романовна, and Михалап Сергей Геннадьевич. “Методы анализа изменений электрической активности коры головного мозга при визуальной стимуляции” Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки, no. 10, 2017, pp. 10-23.[Киберленика]
  5. Shaw, J. C. (1984). Correlation and coherence analysis of the EEG: A selective tutorial review. International Journal of Psychophysiology, 1(3), 255–266. doi:10.1016/0167-8760(84)90045-X.
  6. Г А.П. Кулаичев. Компьютерная электрофизиология и функциональная диагностика. Изд. 4-е, перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2007, с.178-230 [Электронный ресурс]
  7. Описание анализа ЭЭГ в программе Синхро-С ООО «СинКор» Санкт-Петербург 2017 [Электронный ресурс]