Анализ Фурье

Важным свойством ЭЭГ является ее ритмичность. Как мы узнали из этой части книги, существует несколько ритмов ЭЭГ, которые отличаются частотой, местоположением, механизмами генерации и функциональным значением. Ритмы развиваются во времени, они растут и убывают. В качестве репрезентативного и надежного обычно рассматривается 3-минутный интервал ЭЭГ или более длительная запись, т.к. весьма трудно оценить всю информацию о ритмах при рассмотрении каждый раз только нескольких секунд регистрации ЭЭГ Мощный метод сокращения информации о ритмичной активности во времени создается анализом Фурье.

Теорема Фурье утверждает, что любой сигнал X (t) в пределах времени от 0 до Т ( Т — эпоха для анализа Фурье, или эпоха анализа. Чем больше эпоха, тем больше число гармоник и выше частотное разрешение для спектров. Например, для эпохи анализа в 4 секунды частотное разрешение 1/4 = 0,25 Гц.)  может быть расчленен на набор простых синусоидальных функций, названных рядом Фурье, то есть:

X(t) = А0 +  ∑Ansin(nft+ φn),

где — сумма по всем частотам (гармоника), f — собственная частота сигнала f= 1 /Т, φ — фаза, n = 1,2,3, An — амплитуда, φn — фаза синусоидальной компоненты (n — порядок гармоники).

Цель анализа Фурье состоит в том, чтобы найти эти параметры. Они могут быть представлены в форме спектров амплитуд (Аn в зависимости от частоты nf), спектров мощности (квадрат амплитуды А2n) и фазовых спектров (φn в зависимости от частоты nf). Подход на основе прямого суммирования в вычислении Аn и φn требует большого времени для расчетов. В 1965 году Cooly и Tukey создали более эффективный алгоритм для вычисления ряда Фурье, названный алгоритмом быстрого преобразования Фурье (fast Fourier transformation — FFT).

Разложение прямоугольного сигнала на синусоидальные гармоники
Рисунок 1 Разложение прямоугольного сигнала на синусоидальные гармоники

Сигнал (А) раскладывается на гармоники (Б) с различными частотами и амплитудами (числа справа). Чем больше добавляется гармоник, тем лучше соответствует результат суммации (С) исходному сигналу.

Временной интервал регистрации ЭЭГ, например, в состоянии с открытыми глазами, обычно равен 3 минутам. Это означает, что он может быть разделен на 45 четырехсекундных эпох. Разделение непрерывного потока сигнала на конечные эпохи может внести искажение спектров артефактными частотами, созданными резкими переходами на концах эпохи. Этот тип искажения минимизируется умножением потенциала в пределах эпохи анализа на соответствующие значения временного окна. Временное окно — числовой ряд, содержащий то же самое число элементов, как число отсчетов сигнала в эпохе. Значения элементов временного окна стремятся к нулю на обоих концах ряда и к единице в середине. Было предложено множество разнообразных временных окон, включая прямоугольное, треугольное, окно Ханна и Blackman-функции.

Применяющиеся различные временные окна создают другую проблему: отсчеты около начала и конца эпох анализа дают меньший вклад в спектры по сравнению со средними отсчетами. Чтобы компенсировать это искажение, выбираются эпохи с перекрыванием. Перекрывание обычно составляет половину эпохи. Параметры анализа Фурье могут быть приспособлены к целям определенной задачи: длина эпохи (обычно от 1 до 8 секунд), тип перекрывания между эпохами (обычно выбирается 50 % перекрывания), тип временного окна (лучшие результаты достигаются временным окном Ханна). Почти во всех коммерчески доступных программных обеспечениях эти параметры могут быть настроены пользователем.

Динамика спектров и усредненные спектры

Спектры могут быть представлены различными способами. Один из них представляет динамику спектров, вычисленных для каждой эпохи (или множества эпох) последовательно (рис. 2 вверху). Как видим, пики в спектрах, соответствующие мю-ритмам, в последовательных временных интервалах убывают и возрастают. Другой способ представления спектров — усреднение спектров по всему интервалу регистрации (рис.2 внизу).  Спектры мощности, представленные на рис. 1, рассчитаны так: 1) длительность эпохи установлена равной 4 секундам; 2) интервал всей записи ЭЭГ (беэ интервалов, содержащих артефакты) разделен на равные эпохи; 3) перекрывание эпох установлено равным 50 %, начиная со второй эпохи первые 50 % каждой эпохи перекрываются с последними 50 % предыдущей эпохи; 4) выбрано временное окно Ханна; 5) спектр мощности вычислен посредством быстрого преобразования Фурье; 6) усредненный спектр рассчитан усреднением по всем эпохам записи ЭЭГ для каждого отдельного канала. Усредненные спектры более стабильны и могут надежно характеризовать состояние человека. Три минуты — минимальная продолжительность регистрации ЭЭГ для получения относительно устойчивых спектров.

Относительные спектры

Амплитуда ЭЭГ, зарегистрированной у отдельного субъекта, зависит от многих факторов, включая нейрофизиологические, анатомические и физические свойства мозга и окружающих тканей (кожи, кости, твердых и мягких мозговых оболочек). Эти параметры изменяются от одного человека к другому и в основном неизвестны. Указанные различия приводят к большой вариабельности абсолютных спектров ЭЭГ (рис. 3, вверху). Чтобы скомпенсировать эту вариабельность, иногда вычисляется относительная мощность ЭЭГ (рис. 3, внизу). Как видно, изменчивость абсолютной мощности выше, чем изменчивость относительной мощности. Так, когда вычисляются Z-показатели (Z-показатель для статистического распределения — отношение отклонения от среднего значения к стандартному отклонению (вариабельности)) для оценки уровня статистической значимости отклонения индивидуального спектра от среднего по группе здоровых субъектов, большие колебания абсолютных спектров ЭЭГ в нормальной группе понизили бы уровень статистической значимости отклонения от нормальности.

Два способа представления спектров мощности ЭЭГ
Рисунок 2. Два способа представления спектров мощности ЭЭГ

А. Динамика спектров мощности, вычисленных для 3 каналов (СЗ, Cz и С4). Направление времени — сверху вниз. Б Спектры ЭЭГ, усредненные по всем эпохам. Монтаж — локальный средний монтаж (Lemos). Эпоха анализа 4 секунды. В динамике спектров каждый спектр — усреднение по четырем последовательным эпохам.

Спектры абсолютной мощности по сравнению со спектрами относительной мощности
Рисунок 3. Спектры абсолютной мощности по сравнению со спектрами относительной мощности

Спектры абсолютной (А) и относительной (Б) мощности ЭЭГ 28 здоровых субъектов возрастом 15 лет наложены друг на друга. Обратите внимание, что отклонения меньше для относительной мощности по сравнению с абсолютной мощностью.

Формула для вычисления относительных спектров проста:

Pr(f) = Pa(f)/(∑Pa(f)),

где Pr(f) — относительная мощность ЭЭГ на частоте f, Pa(f) — абсолютная мощность ЭЭГ на той же самой частоте, ∑ — сумма мощностей ЭЭГ всего спектра или его части.