Волновое (вейвлет) преобразование

Вейвлеты (wavelets) – колебательные волновые сигналы конечной длины, образующиеся при расчленение ЭЭГ не на непрерывные синусоидальные функции. В анализе Фурье сигнал ЭЭГ преобразуется в набор синусоидальных функций с различными частотами, амплитудами и фазой. Эти функции во временном промежутке стремятся к бесконечности. Следовательно, преобразование Фурье не дает четкого представления о временной динамике. Это преобразование не работает, когда мы хотим изучить, как различные ритмы ЭЭГ отвечают на краткие предъявления стимулов или на быстрые движения. В таких случаях естественно расчленять ЭЭГ не на непрерывные синусоидальные функции, а на колебательные волновые сигналы конечной длины (рис., вверху справа).

Мощностно-частотно-временные представления
Мощностно-частотно-временные представления (вейвлет-анализ)

А. Сигнал ЭЭГ — s (t). Б. Вейвлеты Морле (Morlet's), также называемые волновыми сигналами. В. Схематичное трехмерное представление разложения сигнала на волновые функции Морле. Г. Мощностно-частотно-временное представление сигнала, усредненного по пробам.

В математике вейвлет-преобразование относится к представлению сигнала в терминах колебания сигналов конечной длины. Эта форма волны измеряется и переводится в соответствие со входным сигналом.

Используемые главным образом функции — набор вейвлетов Морле (Morlet), определенные уравнением:

W(t, f) = А ехр(—(t-t0)2 / 2s2) exp(2iπft).

W(t,f) имеют Гауссовскую форму как во временной шкале (относительно времени t0), так и в частотной области (относительно частоты f) вейвлеты имеют одно и то же число циклов для различных частотных диапазонов, что приводит к их различной длительности.

Анализируемый сигнал s(t) преобразуется волновым анализом подобно преобразованию с помощью синусоидальных функций:

P(t,f) = |w(t,f) x s(t) |2

Результат возводится в квадрат и дает зависимую от времени мощность ЭЭГ около частоты f. Повторение этого вычисления для ряда волновых сигналов, имеющих различные частоты f, обеспечивает временно-частотное представление мощности компонент сигнала (рис., внизу).