Анализ независимых компонент (ICA)

Анализ независимых компонент (англ. Independent Component Analysis, ICA) — метод разрешения проблемы слепого разделения источников. Применительно ЭЭГ проблема может быть сформулирована как нахождение независимых кортикальных генераторов потенциала, регистрируемого с поверхности скальпа.

Слепое разделение источников и анализ независимых компонент

ЭЭГ — сумма различных ритмов, произведенных в различных частотах генераторами, расположенными в различных корковых областях. Например, генераторы мю-ритма 9— 13 Гц расположены в сенсомоторной коре, в то время как генераторы среднелобного тета-ритма расположены в средней предлобной коре и передней поясной извилине. Любой электрод, помещенный в лобноцентральную область, регистрирует сумму этих двух ритмов. Подобным образом вызванные потенциалыпредставляют сумму различных компонент, произведенных различными корковыми генераторами в различных временных интервалах. Например, генераторы в ранней (от 80 до 200 мс) стадии зрительной обработки информации расположены в различных областях задней коры, таких как стриарная, престриарная кора, передний зрительный поток (нижняя —височная кора) и задний поток (теменная кора). В этих двух примерах, если мы хотим найти независимые генераторы, которые производят смешанные потенциалы в коре, мы должны решить так называемую проблему слепого разделения.

Математическая формулировка

Математически эта проблема может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что мы имеем N исходных сигналов или переменных (типа нейронных диполей, которые находятся в специфической корковой области и производят специфический ритм) s = {s,, s2, …,sN}, где si-вектор — функция времени. Если мы далее рассматриваем время как последовательность дискретных временных точек t, тогда динамику времени si можно рассматривать как матрицу S с N-рядами (источники) и Т-колонками (временные отсчеты). Предположим далее, что согласно законам физики (таким как проведение электрических потенциалов в объеме) эти сигналы почти немедленно проектируются к поверхности головы и линейно смешиваются в данном отведении. Если общее количество электродов N, тогда:

P = MS,

где Р = {P1, Р2,…, PL} — матрица временной динамики потенциала (состоящий из N-рядов и Т-колонок), М — так называемая матрица смешивания, которая смешивает независимые источники в скальповые потенциалы, зарегистрированные отдельными электродами:

M = {M1, M2,…, MN1}

Цель проблемы слепого разделения источников математически может быть сформулирована как вычисление значений вектора S, нахождение матрицы W так, чтобы:

U = WP,

где U — оценка S.

Обратите внимание, что матрицу W называют несмешанной матрицей, потому что она преобразует смешанные потенциалы в их источники.

Согласно определениям линейной алгебры:

P = W-1 U,

где W-1 — обратная матрица W (вспомните, что W-1 — оценка матрицы смешивания М).

Пространственные фильтры разложения на независимые компоненты

Обратите внимание, что i-ряд матрицы W называют пространственным фильтром соответствующей компоненты, потому что он извлекает (отфильтровывает) независимую компоненту из смешанного сочетания их всех. Эти фильтры можно рассматривать как топографии соответствующих компонент и визуализировать в форме карт (см. карты справа рис.1).

Предполагается, что локализация источников независимых компонент постоянна, то есть не меняет местоположение в течение времени регистрации. Активации соответствующих источников (Ц) можно рассматривать как волновые сигналы независимой компоненты. Обратите внимание, что получение фактической амплитуды независимого источника на скальпе требует перемножения волнового сигнала и соответствующей топографии. Так как единственная значащая величина — фактическая амплитуда источника на поверхности головы, мы можем «умножить» как сам сигнал, так и топографию на «—1», не изменяя этой величины. Это создает двусмысленность в определении полярности волнового сигнала и его положения. Так, ни признак положения, ни признак волнового сигнала не является значащим сам по себе.

Слепое разделение источников ЭЭГ
Рисунок 1. Слепое разделение источников ЭЭГ

А. Нативная ЭЭГ. Б. Временная динамика независимых компонент (U). В. Топографии независимых компонент (W1). Нативная ЭЭГ равна произведению матриц W-1U.

Сравнение методов анализа независимых и главных компонен
Рисунок 2. Сравнение методов анализа независимых и главных компонен

Неортогональная смесь двух распределений в плоскости X-Y, полученных двумя методами. Анализ главных компонент, РСА (Б), дает ортогональные оси в направлениях максимальной дисперсии. Анализ независимых компонент, ICA (А), отражает характер распределений.

Представим проблему слепого разделения источников в графической форме. Здесь мы должны подчеркнуть, что трудно вообразить многомерное пространство и еще более трудно вообразить линейные преобразования в этом пространстве. Так, для простоты мы рассматриваем двухмерное пространство (рис. 2). Предположим, мы имеем два независимых источника (переменные), которые определяют два параметра данной системы, такие как X, изображенную в горизонтальной оси, и Y, изображенную в вертикальной оси. Параметры X и Y могут быть измерены, в то время как задача состоит в том, чтобы найти независимые источники. Если переменные независимы и они изменяются во времени, набор состояний системы может напоминать то, что представлено на рис. 2, где каждая точка соответствует состоянию системы в последовательных временных интервалах. Обратите внимание также, что на рис. 2 переменные не являются гауссовскими, то есть они очень разбросаны. Таким образом, проблема слепого разделения источников должна состоять в том, чтобы выделить векторы, которые соотносятся с независимыми переменными (или источниками), зная только измеренные параметры системы X и У.

Анализ независимых компонент (ICA) в сравнении с анализом главных компонент (РСА)

Существует несколько попыток решить задачу слепого разделения источников. Наиболее мощный из них — анализ независимых компонент (Independent Component Analysis, ICA). ICA был впервые представлен в начале 1980-х, а для ЭЭГ был применен в 1995 году для коррекции артефактов. В общих чертах ICA — специальная область математики, и для выполнения анализа независимых компонент используются численные алгоритмы. Эти алгоритмы базируются на оптимизации (нахождении минимумов или максимумов) некоторых функционалов. ICA внешне связан с классическими методами, такими как анализ главных компонент и факторный анализ. Но ICA намного более мощная техника, способная к обнаружению переменных или источников, лежащих в основе, тогда когда классические методы полностью терпят неудачу. Последнее утверждение продемонстрировано на рис. 2. Рисунок представляет случай двух независимых, неортотональных и негауссовских переменных, которые смешаны в две измеряемые переменные (ось X и ось Y).

Решения, полученные методом анализа главных компонент и методом анализа независимых компонент, схематично представлены векторами из тонких линий. Явно, что оси ICA лучше описывают структуру этих данных, чем РСА.

Ключевое предположение, используемое в ICA, — то, что источники являются статистически независимыми. Это предположение, по-видимому, очень точно соответствует данным ЭЭГ Действительно, все экспериментальные свидетельства указывают, что ЭЭГ формируется потенциалами, произведенными различными источниками, расположенными в различных корковых областях. Статистическая независимость означает, что измерение потенциала, произведенного в отдельном источнике (скажем, в левой сенсомоторной полосе, что производит мю-ритм) в данный момент, не позволяет сделать никаких предположений относительно источника в другой области мозга (скажем, в правой сенсомоторной полосе, или затылочной области, или передней цингулярной извилине). Предположение о статистической независимости, по-видимому, также верно для компонент, наблюдаемых в вызванных потенциалах (для большего количества деталей см. часть 2 этой книги).

Большинство методов ICA выполняется с использованием информацион-ноых алгоритмов обучения. Различные лаборатории используют различные варианты алгоритмов обучения, такие как JADE, InfoMax ICA и FastICA. Когда эти алгоритмы были сравнены, они, в общем, работают одинаково хорошо. В референтной базе данных, описываемой в этой книге, мы используем алгоритм градиентного спуска, разработанный Скоттом Макейгом с соавторами. Надо подчеркнуть, что эти алгоритмы ICA рассматривают только статистику карт данных, зарегистрированных в различные моменты, не учитывая временной порядок этих карт.

Пример применения ICA к сырым ЭЭГ-данным представлен на рис. 3. Как видим из временной динамики ЭЭГ и из сжатых частотных представлений (спектров), данная ЭЭГ генерирована тремя различными источниками, расположенными соответственно около каналов СЗ, С4 и О1,О2. Эти источники соответствуют левому мю-ритму, правому мю-ритму и затылочному альфа-ритму. Средние частоты, соответствующие этим ритмам, очень близки друг к другу, составляя 9,5; 9,3 и 10,2 Гц соответственно. Мы применяли метод ICA к трехминутной записи ЭЭГ. Положения трех независимых компонент представлены ниже. Эти положения можно рассматривать как пространственные фильтры. На рис. 3 слева представлены результаты применения таких фильтров к сырой ЭЭГ; в середине — изображения, полученные методом LORETA для выбранных компонент.

Разложение нативной ЭЭГ на независимые компоненты
Рисунок 3. Разложение нативной ЭЭГ на независимые компоненты

А. Независимые компоненты с соответствующими LORETA-изображениями источников. Б. Фрагмент ЭЭГ-сигнала здорового 19-летнего субъекта во время выполнения GO/NOGO-задачи с топограммами трех независимых компонент, изображенными ниже. В. Спектр мощности с топограммой спектра на частоте 9,5 Гц.